克卜勒行星運動定律互動教學

高中物理與地球科學、資訊跨領域模擬互動教材

108課綱對應行星軌道力學動態等面積剖切

互動天體模擬

近日點距離 q 0.70AU

遠日點距離 Q 1.30AU

理論週期 T 1.00yr

當前速度 v 1.00相對值

向心加速度 a_c 1.00相對值

克卜勒第一定律：軌道定律

第一定律的核心觀念： 行星繞太陽運動的軌道是一個「橢圓」，太陽並非位於圓心，而是位於橢圓的其中一個「焦點」上。橢圓另一個焦點則為虛擬空焦點。

軌道離心率 e (橢圓扁平度) 0.30

軌道半長軸 a (軌道大小) 1.00

顯示橢圓虛擬空焦點 (Focus 2)

顯示近/遠日點距離連線 (r₁, r₂)

近日點與遠日點定義：

近日點 r₁ (或 r_min)：行星運行軌道上距離太陽最近的點（\(r_1 = a(1-e) = 1.00\) AU）。
遠日點 r₂ (或 r_max)：行星運行軌道上距離太陽最遠的點（\(r_2 = a(1+e) = 1.00\) AU）。
橢圓半長軸 r 可表示為：\(r = (r_{\text{max}} + r_{\text{min}}) / 2\)

克卜勒第二定律：等面積定律

第二定律的核心觀念： 行星與太陽的連線，在「相同的時間間隔」內，掃過的面積完全相等。這意味著：當行星距離太陽較近（近日點）時，運動速度會加快；距離較遠（遠日點）時，速度會減慢。

模擬動畫速度 1.0x

顯示「等時間」等面積剖切扇形

顯示速度向量 v (發光綠線)

顯示向心加速度向量 a_c (發光橘線)

物理本質：角動量守恆

行星受到太陽的萬有引力指向引力中心（太陽），屬於共點力，其受力方向與距離向量平行，因此外力矩為零 ($\vec{\tau} = 0$)，行星相對於太陽的角動量守恆。

1. 角動量公式：

L = r × p = m (r × v) = m r² ω = 常數

2. 等面積速率概念：

行星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積，稱為面積速率。因為角動量守恆，面積速率不隨時間而變，這就是第二定律的物理本質。

3. 面積定律公式：

掃過面積 / 時間間隔 = 定值

💡 物理思考與觀察：向量垂直性

觀察模擬中的向量：速度向量 \(\vec{v}\)（發光綠線）與向心加速度向量 \(\vec{a_c}\)（發光橘線）。
你會發現，在橢圓軌道上，這兩個向量並不恆垂直！只有當行星運行到近日點與遠日點時，兩者才會完全垂直。
在其他位置，加速度向量與速度向量的夾角不為 \(90^\circ\)，這意味著加速度在運動方向上有切向分量，這正是造成行星加速（往近日點移動）或減速（往遠日點移動）的原因。若為圓形軌道，兩者則恆垂直（切向加速度為零），故作等速率運動。

克卜勒第三定律：週期定律

第三定律的核心觀念： 克卜勒第三定律（調和定律）指出：繞同一個中心天體運行的所有行星，其公轉週期的平方與橢圓軌道半長軸的立方成正比。其核心公式為：\(\frac{R^3}{T^2} = K\)

參數說明：
\(R\)：橢圓軌道的半長軸（若是圓形軌道，即為半徑）。
\(T\)：行星繞行一週的公轉週期。
\(K\)：常數。此常數僅與中心天體的質量有關，與繞行行星的質量無關。

一鍵載入真實天體參數：

開啟「雙軌道對比」（以地球軌道為基準）

中心恆星質量 M (對週期有影響) 1.00

克卜勒第三定律公式：

\(\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}\)

由於 \(G\) (萬有引力常數) 與 \(M\) (中心天體質量) 皆為定值，因此 \(\frac{r^{3}}{T^{2}}\) 是一個與行星無關的常數。若將軌道推廣至橢圓，只需將圓半徑 \(r\) 換成橢圓半長軸 \(a\)，即 \(\frac{a^3}{T^2} = \text{常數}\)。

克卜勒定律知識小測驗

測驗說明： 精選四道地科經典測驗題。提交回答後，將為您展示精確的地科核心觀念解析。

Q1 關於克卜勒第一定律說明，下列敘述何者正確？

行星繞太陽運動的軌道是完美的圓形。行星繞太陽的軌道為橢圓，且太陽位於其中一個焦點上。行星軌道的另一個空焦點上也有一顆隱藏的恆星。

Q2 根據克卜勒第二定律（等面積定律），當行星移動到近日點時：

行星的速度最快，此時與太陽連線在單位時間掃過的面積不變。由於距離近日點近，行星的速度最慢，掃過面積最大。行星速度不變，但是軌道半徑縮短使掃過面積變小。

Q3 在太陽系中，若有一顆新發現的矮行星，其軌道半長軸 a 為 4.0 AU，其繞日週期 T 約為幾年？

4.0 年 64.0 年 8.0 年

Q4 已知哈雷彗星的軌道離心率 e 非常高（約 0.967），這對其繞日運動產生什麼視覺影響？

哈雷彗星的軌道非常接近正圓，運行速度十分穩定。近日點時會如狂飆般呼嘯而過，而遠日點時則會極其緩慢地爬行。由於離心率大，哈雷彗星只會公轉一圈就脫離太陽系。

本平台採用 HTML5 Canvas 與標準天體力學物理方程式模擬。
物理演算法採用平近點角 (Mean Anomaly) 與克卜勒方程數值解 (Newton-Raphson)，確保等面積物理行為 100% 精確。

開發：Antigravity AI 助教 · 適合高中地科選修課堂